\chapter{1609年,开普勒行星运动定律的推导与数学表述}

% 摘要
\begin{abstract}
	本文基于约翰尼斯·开普勒1609年发表的《新天文学》和《论火星运动》中的原始思想，重构了开普勒第一定律（椭圆轨道定律）和第二定律（面积定律）的数学推导过程。通过分析第谷·布拉赫的火星观测数据，开普勒发现行星轨道为椭圆且太阳位于其一焦点，并证明行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等面积。本文采用现代数学语言呈现这一历史性发现的推导逻辑。
\end{abstract}


% 章节 1：引言
\section{引言}
1609年，约翰尼斯·开普勒(Johannes Kepler，1571.12.27-1630.11.15，生于德国符腾堡的威尔德斯达特镇)发表了《新天文学》一书和《论火星运动》一文，提出了行星运动的两大定律：
\begin{enumerate}
	\item \textbf{椭圆轨道定律}：行星绕太阳运行的轨道是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点。
	\item \textbf{面积定律}：行星与太阳的连线在相等时间内扫过相等的面积。
\end{enumerate}
这些定律颠覆了传统的圆轨道观念，为牛顿万有引力定律奠定了基础。本文将从开普勒的原始思路出发，结合现代数学工具推导这两条定律。

% 章节 2：椭圆轨道定律的推导
\section{椭圆轨道定律的推导}

\subsection{轨道形状的数学描述}
开普勒通过分析火星轨道数据，发现仅当轨道为椭圆且太阳位于焦点时，理论预测与观测相符。设椭圆的标准方程为：
$$
\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1
$$
其中 \(a\) 为半长轴，\(b\) 为半短轴，焦距 \(c = \sqrt{a^2 - b^2}\)，太阳位于焦点 \((c, 0)\)。

\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\begin{tikzpicture}[scale=0.8, >=Stealth]
		% 定义椭圆参数
		\def\a{4} % 半长轴
		\def\b{3} % 半短轴
		\def\c{sqrt(\a*\a - \b*\b)} % 焦距
		
		% 绘制椭圆轨道
		\draw[thick] (0,0) ellipse (\a cm and \b cm);
		
		% 标注焦点
		\filldraw[red] (-\c, 0) circle (2pt) node[below left] {太阳 $F_1$};
		\filldraw[black] (\c, 0) circle (2pt) node[below right] {$F_2$};
		
		% 绘制长轴和短轴
		\draw[dashed] (-\a-0.5, 0) -- (\a+0.5, 0) node[right] {长轴};
		\draw[dashed] (0, -\b-0.5) -- (0, \b+0.5) node[above] {短轴};
		
		% 标注半长轴和半短轴
		\draw[<->] (0,0) -- (\a,0) node[midway, above] {$a$};
		\draw[<->] (0,0) -- (0,\b) node[midway, right] {$b$};
		
		% 标注焦距
		\draw[<->] (0,0) -- (-\c,0) node[midway, above] {$c$};
		
		% 绘制行星位置示例
		\def\theta{30}
		\pgfmathsetmacro{\r}{(\a*(1-\c/\a*\c/\a))/(1+(\c/\a)*cos(\theta))}
		\pgfmathsetmacro{\x}{\r*cos(\theta)}
		\pgfmathsetmacro{\y}{\r*sin(\theta)}
		
		\filldraw[blue] (\x, \y) circle (2pt) node[above right] {行星};
		\draw[red, ->] (-\c,0) -- (\x, \y) node[midway, above] {$r$};
		
		% 添加角度标注
		\draw (0,0) -- (\x, \y);
		\draw (1,0) arc (0:\theta:1);
		\node at (0.8,0.3) {$\theta$};
	\end{tikzpicture}
	\caption{开普勒第一定律：椭圆轨道示意图。行星沿椭圆轨道运行，太阳位于焦点$F_1$上。}
	\label{fig:ellipse_orbit}
\end{figure}

\subsection{开普勒的几何论证}
开普勒采用"偏心圆模型"修正，通过引入\textbf{偏心等距点}（equant）和物理性引力假设，发现行星到太阳的距离 \(r\) 满足：
$$
r = \frac{a(1-e^2)}{1 + e \cos \theta}
$$
其中 \(e = c/a\) 为偏心率，\(\theta\) 为真近点角。该方程恰为圆锥曲线的极坐标形式（当 \(0 < e < 1\) 时为椭圆）。

% 章节 3：面积定律的推导
\section{面积定律的推导}

\subsection{角动量守恒的早期形式}
开普勒发现行星在近日点运动更快，远日点更慢，且面积速度恒定。设行星位矢 \(\vec{r}\) 在时间 \(dt\) 内扫过的面积 \(dA\) 为：
$$
dA = \frac{1}{2} |\vec{r} \times d\vec{r}|
$$
因此面积速度：
$$
\frac{dA}{dt} = \frac{1}{2} \left| \vec{r} \times \frac{d\vec{r}}{dt} \right| = \frac{1}{2} |\vec{r} \times \vec{v}|
$$

\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\begin{tikzpicture}[scale=1.2, >=Stealth]
		% 定义椭圆参数
		\def\a{3.5}
		\def\b{2.5}
		\def\c{sqrt(\a*\a - \b*\b)}
		
		% 绘制椭圆轨道
		\draw[thick] (0,0) ellipse (\a cm and \b cm);
		
		% 太阳位置
		\filldraw[red] (-\c, 0) circle (3pt) node[below] {太阳};
		
		% 定义几个行星位置
		\def\thetaA{20}
		\def\thetaB{60}
		\def\thetaC{120}
		\def\thetaD{200}
		
		% 计算位置坐标
		\pgfmathsetmacro{\rA}{(\a*(1-\c/\a*\c/\a))/(1+(\c/\a)*cos(\thetaA))}
		\pgfmathsetmacro{\xA}{\rA*cos(\thetaA)}
		\pgfmathsetmacro{\yA}{\rA*sin(\thetaA)}
		
		\pgfmathsetmacro{\rB}{(\a*(1-\c/\a*\c/\a))/(1+(\c/\a)*cos(\thetaB))}
		\pgfmathsetmacro{\xB}{\rB*cos(\thetaB)}
		\pgfmathsetmacro{\yB}{\rB*sin(\thetaB)}
		
		\pgfmathsetmacro{\rC}{(\a*(1-\c/\a*\c/\a))/(1+(\c/\a)*cos(\thetaC))}
		\pgfmathsetmacro{\xC}{\rC*cos(\thetaC)}
		\pgfmathsetmacro{\yC}{\rC*sin(\thetaC)}
		
		\pgfmathsetmacro{\rD}{(\a*(1-\c/\a*\c/\a))/(1+(\c/\a)*cos(\thetaD))}
		\pgfmathsetmacro{\xD}{\rD*cos(\thetaD)}
		\pgfmathsetmacro{\yD}{\rD*sin(\thetaD)}
		
		% 绘制行星位置和速度矢量
		\foreach \x/\y/\theta/\label in {
			\xA/\yA/\thetaA/A,
			\xB/\yB/\thetaB/B,
			\xC/\yC/\thetaC/C,
			\xD/\yD/\thetaD/D}
		{
			\filldraw[blue] (\x, \y) circle (2pt) node[above right] {};
			
			% 计算速度方向（垂直于径向）
			\pgfmathsetmacro{\vscale}{0.8}
			\pgfmathsetmacro{\vx}{-\vscale*sin(\theta)}
			\pgfmathsetmacro{\vy}{\vscale*cos(\theta)}
			
			% 调整速度大小以显示面积定律
			\pgfmathsetmacro{\speedfactor}{1/\r}
			\draw[blue, ->, thick] (\x, \y) -- ($(\x, \y) + \speedfactor*(\vx, \vy)$);
		}
		
		% 绘制面积扇形
		\filldraw[pattern=north east lines, pattern color=orange!50, opacity=0.6] 
		(-\c,0) -- (\xA,\yA) arc (\thetaA:\thetaB:{\rA} and {\rB}) -- cycle;
		\filldraw[pattern=north west lines, pattern color=green!50, opacity=0.6] 
		(-\c,0) -- (\xC,\yC) arc (\thetaC:\thetaD:{\rC} and {\rD}) -- cycle;
		
		% 添加标注
		\node at ($(-\c,0)!0.5!(\xA,\yA)!0.5!(\xB,\yB)$) {$\Delta A_1$};
		\node at ($(-\c,0)!0.5!(\xC,\yC)!0.5!(\xD,\yD)$) {$\Delta A_2$};
		\node[below right] at (\xA,\yA) {近日点附近};
		\node[above left] at (\xC,\yC) {远日点附近};
		
		% 添加说明
		\node[align=center] at (0, -3.5) {在相等时间间隔内，扫过的面积相等 $\Delta A_1 = \Delta A_2$};
	\end{tikzpicture}
	\caption{开普勒第二定律：面积定律示意图。行星在相等时间内扫过相等面积，近日点速度较快，远日点速度较慢。}
	\label{fig:area_law}
\end{figure}

\subsection{开普勒的物理假设}
开普勒假设太阳发出一种"磁力"驱动行星，且该力与距离成反比。现代分析表明，面积定律等价于角动量守恒。设行星质量为 \(m\)，则角动量 \(\vec{L} = \vec{r} \times m\vec{v}\) 为常向量，故：
$$
\frac{dA}{dt} = \frac{|\vec{L}|}{2m} = \text{常数}
$$
此即面积定律的数学表述。

% 添加开普勒的历史图表
\section{历史背景与原始图表重构}

\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\begin{tikzpicture}[scale=0.9]
		% 绘制开普勒的原始偏心圆模型
		\def\R{3} % 圆半径
		\def\e{0.5} % 偏心距
		
		% 绘制圆
		\draw[dashed] (0,0) circle (\R);
		\node at (0, -\R-0.3) {初始圆轨道假设};
		
		% 绘制中心点和偏心点
		\filldraw[black] (0,0) circle (1.5pt) node[below] {$C$ (中心)};
		\filldraw[red] (-\e,0) circle (1.5pt) node[below] {$S$ (太阳)};
		\filldraw[blue] (\e,0) circle (1.5pt) node[below] {$E$ (等距点)};
		
		% 绘制从等距点出发的等角射线
		\foreach \angle in {0, 45, 90, 135, 180, 225, 270, 315} {
			\draw[gray, thin] (\e,0) -- ($(\e,0) + (\angle:\R+0.5)$);
		}
		
		% 在圆上标注点
		\foreach \angle in {0, 45, 90, 135, 180, 225, 270, 315} {
			\pgfmathsetmacro{\x}{\R*cos(\angle)}
			\pgfmathsetmacro{\y}{\R*sin(\angle)}
			\filldraw[black] (\x, \y) circle (1pt);
		}
		
		% 添加说明框
		\node[draw, rounded corners, fill=white, align=center, text width=6cm] at (0, -2.5) {
			开普勒最初采用偏心圆模型解释火星运动，\\
			但发现与第谷的观测数据存在8弧分的误差，\\
			这最终引导他发现了椭圆轨道定律
		};
	\end{tikzpicture}
	\caption{开普勒原始偏心圆模型的重构}
	\label{fig:kepler_original}
\end{figure}

% 章节 4：结论
\section{结论}
开普勒通过严谨的观测数据分析和几何论证，首次揭示了行星运动的椭圆轨道和面积守恒特性。这两条定律不仅描述了行星运动，更隐含了角动量守恒和万有引力的深刻物理原理。本文用现代数学语言重构了其推导过程，展现了开普勒工作的科学价值。

% 参考文献
\begin{thebibliography}{9}
	\bibitem{kepler1609}
	Kepler, J. (1609). \emph{Astronomia Nova}.
	
	\bibitem{kepler1609mars}
	Kepler, J. (1609). \emph{Commentaries on the Motion of Mars}.
	
	\bibitem{stephenson1987}
	Stephenson, B. (1987). \emph{Kepler's Physical Astronomy}. Princeton University Press.
	
	\bibitem{tikz}
	Tantau, T. (2013). \emph{The TikZ and PGF Packages}. Manual for version 3.0.0.
\end{thebibliography}

\vspace{2em}
\noindent
\textbf{注}：本文为重构性推导，侧重逻辑连贯性，部分细节采用了现代数学表述以清晰呈现核心思想。图表使用TikZ绘制，重构了开普勒原始著作中的几何关系。